詩詩動人 經經有味--高雄 慈悅書院 親子讀經班

算術漫談：南宋楊輝與河圖洛書
作者: 九數【正見網2009年03月17日】 

 
楊輝，字謙光，南宋錢塘（今杭州）人。《宋史》無傳，其生卒年月及生平事迹無從詳考。他是當時傑出的算學家，著述甚多，有名的算書共五種二十一卷。著有《詳解九章算法》十二卷（1261年），《日用算法》二卷（1262年），《乘除通變本末》三卷（1274年），《田畝比類乘除算法》二卷（1275年），《續古摘奇算法》二卷（1275年）。在楊輝的著作中，最有影響的獨創成果是“縱橫圖”。

（一）河洛新篇，創縱橫圖

楊輝給出的縱橫圖，記錄在《續古摘奇算法》卷上。其中有方陣十三幅，它們是：洛書數一幅，四四圖兩幅，五五圖兩幅，六六圖兩幅，七七圖兩幅，六十四圖兩幅，九九圖一幅，百子圖一幅，其中還給出了“洛書數”和“四四陰圖”的構造方法。另有圓形六幅，名之為：聚五圖，聚六圖，聚八圖，攢九圖，八陣圖，連環圖。

《續古摘奇算法》在楊輝的算學著作中，比較特別，這是一本類似筆記體的著作。縱橫圖記載在這裡的卷上，可以看出楊輝本人是非常珍視這些研究的。

在古人眼中，河圖洛書是算學文化的淵藪。南宋楊輝是古代世界第一位將河圖洛書在規模上加以發展的算學家。河圖，縱橫各一線，圓圖形式；洛書，縱橫各三線，方圖形式。河圖洛書這樣的圓點數陣模式，楊輝稱為縱橫圖。

甚麼是縱橫圖呢？如果給出一個範圍很小的形式，可以說：縱橫圖是一個n行n列的平面數字方陣，每一行的和，每一列的和，每條對角線的和，都相等。更大範圍的形式，可以說成是由數構成的具有某種特性的結構體。

在楊輝的這些縱橫圖中，我以為最有趣的有三個，依次是：洛書，四四陰圖，九九圖。

[1] 洛書，楊輝留下了簡易的構造口訣，後世研究發展為構造單數（2k+1）階方陣。

[2] 四四陰圖，楊輝也留下了構造口訣，後世研究發展為構造雙偶數（4k）階方陣。這樣的方陣，構造轉盤模式，依然有非常廣闊的空間。可是，由於沒有中心數字，因而也就無法在整體上實現形如.d字符的螺旋結構。

[3] 九九圖，這個圖非常有趣，是用全息構造的辦法完成的。在前面的短文《洛書旋機與全息構造》中，我仔細的談過這一方法。當初，我寫那篇短文的時候，本來想選擇楊輝的九九圖，再三推敲放棄了，實際上我選擇的圖和楊輝的圖還是有某種連繫。一般來說，這樣的結構會有某些獨特的性質。不過，在規模上發展較快，如果仍然用洛書模式，下一個就是二十七階方陣了。太大的方陣，已經失去了簡易的準則。

需要指出的一點是，這三種類型的方陣都遵循洛書旋機方程組，從某種意義上講，這樣的方陣和洛書最有親緣，它們攜帶着洛書的文化基因。

洛書旋機方程組

數字等和a+b+c+d=e+f+g+h
平方等和a^2+b^2+c^2+d^2=e^2+f^2+g^2+h^2
立方等和a^3+b^3+c^3+d^3=e^3+f^3+g^3+h^3

（二）洛書口訣，至簡至易

楊輝留下的洛書口訣：九子斜排，上下對易，左右相更，四維挺出；戴九履一，左三右七，二四為肩，六八為足。

自古以來，洛書的排列，人們只是靠記憶的方式傳習。楊輝從自然排列經由巧妙的變化得出洛書排列，這一步堪稱至簡至易。從此，不用特殊的聰明，一位小小孩童也可以依照口訣頃刻間完成洛書排列。這個例子非常典型的反映着古代算學文化的特點，注重算法構造，崇尚程式操作。

四九二
三五七
八一六

正向取數

4→9→2→3→5→7→8→1→6，2→7→6→9→5→1→4→3→8，
6→1→8→7→5→3→2→9→4，8→3→4→1→5→9→6→7→2；

反向取數

4→3→8→9→5→1→2→7→6，8→1→6→3→5→7→4→9→2，
6→7→2→1→5→9→8→3→4，2→9→4→7→5→3→6→1→8。

數字等和

492357816+276951438+618753294+834159672=2 222 222 220
438951276+816357492+672159834+294753618=2 222 222 220

平方等和

492357816^2+276951438^2+618753294^2+834159672^2
=1 397 796 315 213 555 720
438951276^2+816357492^2+672159834^2+294753618^2
=1 397 796 315 213 555 720

立方等和

492357816^3+276951438^3+618753294^3+834159672^3
=957 918 414 658 638 784 383 442 800
438951276^3+816357492^3+672159834^3+294753618^3
=957 918 414 658 638 784 383 442 800

一二三
四五六
七八九

正向取數

1→2→3→6→9→8→7→4，3→6→9→8→7→4→1→2，
9→8→7→4→1→2→3→6，7→4→1→2→3→6→9→8；

反向取數

1→4→7→8→9→6→3→2，7→8→9→6→3→2→1→4，
9→6→3→2→1→4→7→8，3→2→1→4→7→8→9→6。

數字等和

12369874+36987412+98741236+74123698=222 222 220
14789632+78963214+96321478+32147896=222 222 220

平方等和

12369874^2+36987412^2+98741236^2+74123698^2=16 765 236 721 236 520
14789632^2+78963214^2+96321478^2+32147896^2=16 765 236 721 236 520

立方等和

12369874^3+36987412^3+98741236^3+74123698^3
=1 422 464 020 933 435 203 974 800
14789632^3+78963214^3+96321478^3+32147896^3
=1 422 464 020 933 435 203 974 800

前者為洛書排列，後者為自然排列，計算表明，二者有非常深刻的連繫。非常簡單的九個數字，非常簡單的排列，卻以非常自然的方式創造出一組非常奇妙的等式，不能不讚歎這是數字王國展現的奇妙世界。

（三）花十六圖，獨步天下

當年，楊輝認真的將洛書作為一個數的模式加以研究，由三階方陣向更大規模的方陣推演，首先出現的就是四階方陣。楊輝稱四階縱橫圖為“花十六圖”，也稱“四四圖”。他給出了兩圖，陽圖和陰圖。從三三得九到四四十六，這是非常卓越的一步。

陽圖

02，16，13，03
11，05，08，10
07，09，12，06
14，04，01，15

陰圖

04，09，05，16
14，07，11，02
15，06，10，03
01，12，08，13

在《續古摘奇算法》中，對於陰圖，楊輝留下了構造方法，和洛書一樣，仍然從自然排列的四行四列方陣開始研究。這裡簡單介紹一下，所列圖式，皆為該步驟完成後的結果。

步驟一：以十六子依次第作四行排列。

13，09，05，01
14，10，06，02
15，11，07，03
16，12，08，04

步驟二：先以外四角對換，一換十六，四換十三。后以內四角對換，六換十一，七換十。

04，09，05，16
14，07，11，02
15，06，10，03
01，12，08，13

經檢驗，諸行諸列及對角線上四數和皆為三十四，縱橫圖成立。

行：04+09+05+16=34，14+07+11+02=34，15+06+10+03=34，01+12+08+13=34。
列：04+14+15+01=34，09+07+06+12=34，05+11+10+08=34，16+02+03+13=34。
斜：04+07+10+13=34，16+11+06+01=34。

04，09，05，16
14，○，○，02
15，○，○，03
01，12，08，13

正向取數

01→15→14→04→09→05→16→02→03→13→08→12，
04→09→05→16→02→03→13→08→12→01→15→14，
16→02→03→13→08→12→01→15→14→04→09→05，
13→08→12→01→15→14→04→09→05→16→02→03；

反向取數

01→12→08→13→03→02→16→05→09→04→14→15，
13→03→02→16→05→09→04→14→15→01→12→08，
16→05→09→04→14→15→01→12→08→13→03→02，
04→14→15→01→12→08→13→03→02→16→05→09。

數字等和

011514040905160203130812+040905160203130812011514+
160203130812011514040905+130812011514040905160203
=343 434 343 434 343 434 343 434
011208130302160509041415+130302160509041415011208+
160509041415011208130302+041415011208130302160509
=343 434 343 434 343 434 343 434

平方等和

011514040905160203130812^2+040905160203130812011514^2+
160203130812011514040905^2+130812011514040905160203^2
=44 582 630 747 529 542 458 528 985 720 399 555 500 760 571 774
011208130302160509041415^2+130302160509041415011208^2+
160509041415011208130302^2+041415011208130302160509^2
=44 582 630 747 529 542 458 528 985 720 399 555 500 760 571 774

立方等和

011514040905160203130812^3+040905160203130812011514^3+
160203130812011514040905^3+130812011514040905160203^3
=6 420 017 212 108 530 116 715 661 478 912 622 002 713 259 069 423 010 161 074 979 665 715 124
011208130302160509041415^3+130302160509041415011208^3+
160509041415011208130302^3+041415011208130302160509^3
=6 420 017 212 108 530 116 715 661 478 912 622 002 713 259 069 423 010 161 074 979 665 715 124

（四）全息構造，無窮奧妙

楊輝留下了一幅九九圖，自一開始，至八十一，正合九九歸真之數。後世研究者發現楊輝的這幅縱橫圖，是由洛書模式，採用全息構造的方式實現的。

31，76，13，36，81，18，29，74，11
22，40，58，27，45，63，20，38，56
67，04，49，72，09，54，65，02，47
30，75，12，32，77，14，34，79，16
21，39，57，23，41，59，25，43，61
66，03，48，68，05，50，70，07，52
35，80，17，28，73，10，33，78，15
26，44，62，19，37，55，24，42，60
71，08，53，64，01，46，69，06，51

四四，四九，四二，九四，九九，九二，二四，二九，二二
四三，四五，四七，九三，九五，九七，二三，二五，二七
四八，四一，四六，九八，九一，九六，二八，二一，二六
三四，三九，三二，五四，五九，五二，七四，七九，七二
三三，三五，三七，五三，五五，五七，七三，七五，七七
三八，三一，三六，五八，五一，五六，七八，七一，七六
八四，八九，八二，一四，一九，一二，六四，六九，六二
八三，八五，八七，一三，一五，一七，六三，六五，六七
八八，八一，八六，一八，一一，一六，六八，六一，六六

舉個例子，這裡“五八”轉換為5+8*9-9=68。一般來說，我們將“xy”轉換為數字x+9y-9；實際檢驗，可以看到這樣轉換的結果，正好得出楊輝的九九圖。也許有人會問，楊輝當年真的是這樣想的嗎？這個問題好比是，畫卦者真的是萊布尼茲說的那樣思維嗎？九數悟之，我們的所見只是自身的外化。

洛書中，可以看見.d字符。自然，由洛書採用全息構造得出的九九圖也存在這樣的結構。這裡，我們只計算其中最大的一個形如.d字符的螺旋結構。.d字符，讓人想起銀河星系，我們好比置身在數字構造的星辰世界里。

31，76，13，36，81，○，○，○，11
○，○，○，○，45，○，○，○，56
○，○，○，○，09，○，○，○，47
○，○，○，○，77，○，○，○，16
21，39，57，23，41，59，25，43，61
66，○，○，○，05，○，○，○，○
35，○，○，○，73，○，○，○，○
26，○，○，○，37，○，○，○，○
71，○，○，○，01，46，69，06，51

.d字符正向取數

41→77→09→45→81→36→13→76→31，
41→23→57→39→21→66→35→26→71，
41→05→73→37→01→46→69→06→51，
41→59→25→43→61→16→47→56→11；

31，○，○，○，81，18，29，74，11
22，○，○，○，45，○，○，○，○
67，○，○，○，09，○，○，○，○
30，○，○，○，77，○，○，○，○
21，39，57，23，41，59，25，43，61
○，○，○，○，05，○，○，○，52
○，○，○，○，73，○，○，○，15
○，○，○，○，37，○，○，○，60
71，08，53，64，01，○，○，○，51

.d字符正向取數

41→77→09→45→81→18→29→74→11，
41→59→25→43→61→52→15→60→51，
41→05→73→37→01→64→53→08→71，
41→23→57→39→21→30→67→22→31。

數字等和

417709458136137631+412357392166352671+
410573370146690651+415925436116475611
=1 656 565 656 565 656 564
417709458118297411+415925436152156051+
410573370164530871+412357392130672231
=1 656 565 656 565 656 564

平方等和

417709458136137631^2+412357392166352671^2+
410573370146690651^2+415925436116475611^2
=686 084 270 972 912 771 763 917 972 771 753 524
417709458118297411^2+415925436152156051^2+
410573370164530871^2+412357392130672231^2
=686 084 270 972 912 771 763 917 972 771 753 524

立方等和

417709458136137631^3+412357392166352671^3+
410573370146690651^3+415925436116475611^3
=284 162 272 243 997 699 865 883 936 491 374 203 728 741 670 052 506 884
417709458118297411^3+415925436152156051^3+
410573370164530871^3+412357392130672231^3
=284 162 272 243 997 699 865 883 936 491 374 203 728 741 670 052 506 884

（五）數字未來，無限生機

洛書九數，是方圖；河圖用十，是圓圖。當年，楊輝留下的縱橫圖，除了方圖之外，還有圓圖。其中有一幅圓圖，被楊輝稱作“聚八圖”。全圖用二十四個數，從一開始，布列在一個四圓環上，如楊輝所說“二十四子，作三十二子用”。

一個偶然的機會，這幅聚八圖引起了我的注意。這裡我們選取該圖的中心結構，只有八個數，聚八之名正是由此而得。這八個數排列在兩圓相交的位置上，為了書寫簡單將其排列如下。（完整的聚八圖，此處略。）
05，□，□，18
□，08，19，□
□，17，06，□
20，□，□，07

上：05+08+19+18=50；下：17+20+07+06=50；
左：05+20+17+08=50；右：19+06+07+18=50；
內：08+19+17+06=50；外：05+20+07+18=50。

這八個數的排列呈現非常簡明的加法等和現象。最特別的是，這幅“聚八圖”讓我想起了法輪大法。我們翻開大法書《轉法輪》，仔細看目錄，從第一講到第九講，記下每講中題目的個數。依次排列為：

目錄順序：一二三四五六七八九；
題目個數：七五十五八七五七六。

接着，將記錄的數據寫成：x1=7，x2=5，x3=10，x4=5，x5=8，x6=7，x7=5，x8=7，x9=6。然後，將x1到x8排列成如下形式。

x5，□，□，x8
□，x1，x4，□
□，x2，x3，□
x6，□，□，x7

上：x1+x4+x5+x8=7+5+8+7=27；
下：x2+x3+x6+x7=5+10+7+5=27；
左：x1+x2+x5+x6=7+5+8+7=27；
右：x3+x4+x7+x8=10+5+5+7=27；
內：x1+x2+x3+x4=7+5+10+5=27；
外：x5+x6+x7+x8=8+7+5+7=27。

明代有一本影響深廣的著作《算法統宗》，對推動珠算技術的傳播起了非常大的作用，作者是傑出的算學家程大位，這本書的開篇即是河圖洛書。明清之際，許多算學家在楊輝的基礎上發展，創造了更多新形式的成果，其中包括立體形式的嶄新構造。後來，楊輝的著作也流傳到了東邊的島國日本。日本算學家關孝和，對楊輝的著作認真研究，有了新的創見，也製作了不少縱橫圖。

楊輝的研究，也流傳了西方。再往後，全世界範圍內出現了更多的研究者，創造出了許多非常有趣的縱橫圖。到今日，縱橫圖已經成為全人類廣泛普及的一筆寶貴知識財富。我所選擇的這些內容，一直是順着洛書這條線索展開的。洛書涵蓋的領域，無限寬廣，人類目前認識到的現象還相當膚淺。