算術漫談:南宋楊輝與河圖洛書

2013/03/12 18:42

    

算術漫談:南宋楊輝與河圖洛書
作者: 九數【正見網2009年03月17日】 

 
楊輝,字謙光,南宋錢塘(今杭州)人。《宋史》無傳,其生卒年月及生平事迹無從詳考。他是當時傑出的算學家,著述甚多,有名的算書共五種二十一卷。著有《詳解九章算法》十二卷(1261年),《日用算法》二卷(1262年),《乘除通變本末》三卷(1274年),《田畝比類乘除算法》二卷(1275年),《續古摘奇算法》二卷(1275年)。在楊輝的著作中,最有影響的獨創成果是“縱橫圖”。

(一)河洛新篇,創縱橫圖

楊輝給出的縱橫圖,記錄在《續古摘奇算法》卷上。其中有方陣十三幅,它們是:洛書數一幅,四四圖兩幅,五五圖兩幅,六六圖兩幅,七七圖兩幅,六十四圖兩幅,九九圖一幅,百子圖一幅,其中還給出了“洛書數”和“四四陰圖”的構造方法。另有圓形六幅,名之為:聚五圖,聚六圖,聚八圖,攢九圖,八陣圖,連環圖。

《續古摘奇算法》在楊輝的算學著作中,比較特別,這是一本類似筆記體的著作。縱橫圖記載在這裡的卷上,可以看出楊輝本人是非常珍視這些研究的。

在古人眼中,河圖洛書是算學文化的淵藪。南宋楊輝是古代世界第一位將河圖洛書在規模上加以發展的算學家。河圖,縱橫各一線,圓圖形式;洛書,縱橫各三線,方圖形式。河圖洛書這樣的圓點數陣模式,楊輝稱為縱橫圖。

甚麼是縱橫圖呢?如果給出一個範圍很小的形式,可以說:縱橫圖是一個n行n列的平面數字方陣,每一行的和,每一列的和,每條對角線的和,都相等。更大範圍的形式,可以說成是由數構成的具有某種特性的結構體。

在楊輝的這些縱橫圖中,我以為最有趣的有三個,依次是:洛書,四四陰圖,九九圖。

[1] 洛書,楊輝留下了簡易的構造口訣,後世研究發展為構造單數(2k+1)階方陣。

[2] 四四陰圖,楊輝也留下了構造口訣,後世研究發展為構造雙偶數(4k)階方陣。這樣的方陣,構造轉盤模式,依然有非常廣闊的空間。可是,由於沒有中心數字,因而也就無法在整體上實現形如.d字符的螺旋結構。

[3] 九九圖,這個圖非常有趣,是用全息構造的辦法完成的。在前面的短文《洛書旋機與全息構造》中,我仔細的談過這一方法。當初,我寫那篇短文的時候,本來想選擇楊輝的九九圖,再三推敲放棄了,實際上我選擇的圖和楊輝的圖還是有某種連繫。一般來說,這樣的結構會有某些獨特的性質。不過,在規模上發展較快,如果仍然用洛書模式,下一個就是二十七階方陣了。太大的方陣,已經失去了簡易的準則。

需要指出的一點是,這三種類型的方陣都遵循洛書旋機方程組,從某種意義上講,這樣的方陣和洛書最有親緣,它們攜帶着洛書的文化基因。

洛書旋機方程組

數字等和a+b+c+d=e+f+g+h
平方等和a^2+b^2+c^2+d^2=e^2+f^2+g^2+h^2
立方等和a^3+b^3+c^3+d^3=e^3+f^3+g^3+h^3

(二)洛書口訣,至簡至易

楊輝留下的洛書口訣:九子斜排,上下對易,左右相更,四維挺出;戴九履一,左三右七,二四為肩,六八為足。

自古以來,洛書的排列,人們只是靠記憶的方式傳習。楊輝從自然排列經由巧妙的變化得出洛書排列,這一步堪稱至簡至易。從此,不用特殊的聰明,一位小小孩童也可以依照口訣頃刻間完成洛書排列。這個例子非常典型的反映着古代算學文化的特點,注重算法構造,崇尚程式操作。

四九二
三五七
八一六

正向取數

4→9→2→3→5→7→8→1→6,2→7→6→9→5→1→4→3→8,
6→1→8→7→5→3→2→9→4,8→3→4→1→5→9→6→7→2;

反向取數

4→3→8→9→5→1→2→7→6,8→1→6→3→5→7→4→9→2,
6→7→2→1→5→9→8→3→4,2→9→4→7→5→3→6→1→8。

數字等和

492357816+276951438+618753294+834159672=2 222 222 220
438951276+816357492+672159834+294753618=2 222 222 220

平方等和

492357816^2+276951438^2+618753294^2+834159672^2
=1 397 796 315 213 555 720
438951276^2+816357492^2+672159834^2+294753618^2
=1 397 796 315 213 555 720

立方等和

492357816^3+276951438^3+618753294^3+834159672^3
=957 918 414 658 638 784 383 442 800
438951276^3+816357492^3+672159834^3+294753618^3
=957 918 414 658 638 784 383 442 800

一二三
四五六
七八九

正向取數

1→2→3→6→9→8→7→4,3→6→9→8→7→4→1→2,
9→8→7→4→1→2→3→6,7→4→1→2→3→6→9→8;

反向取數

1→4→7→8→9→6→3→2,7→8→9→6→3→2→1→4,
9→6→3→2→1→4→7→8,3→2→1→4→7→8→9→6。

數字等和

12369874+36987412+98741236+74123698=222 222 220
14789632+78963214+96321478+32147896=222 222 220

平方等和

12369874^2+36987412^2+98741236^2+74123698^2=16 765 236 721 236 520
14789632^2+78963214^2+96321478^2+32147896^2=16 765 236 721 236 520

立方等和

12369874^3+36987412^3+98741236^3+74123698^3
=1 422 464 020 933 435 203 974 800
14789632^3+78963214^3+96321478^3+32147896^3
=1 422 464 020 933 435 203 974 800

前者為洛書排列,後者為自然排列,計算表明,二者有非常深刻的連繫。非常簡單的九個數字,非常簡單的排列,卻以非常自然的方式創造出一組非常奇妙的等式,不能不讚歎這是數字王國展現的奇妙世界。

(三)花十六圖,獨步天下

當年,楊輝認真的將洛書作為一個數的模式加以研究,由三階方陣向更大規模的方陣推演,首先出現的就是四階方陣。楊輝稱四階縱橫圖為“花十六圖”,也稱“四四圖”。他給出了兩圖,陽圖和陰圖。從三三得九到四四十六,這是非常卓越的一步。

陽圖

02,16,13,03
11,05,08,10
07,09,12,06
14,04,01,15

陰圖

04,09,05,16
14,07,11,02
15,06,10,03
01,12,08,13

在《續古摘奇算法》中,對於陰圖,楊輝留下了構造方法,和洛書一樣,仍然從自然排列的四行四列方陣開始研究。這裡簡單介紹一下,所列圖式,皆為該步驟完成後的結果。

步驟一:以十六子依次第作四行排列。

13,09,05,01
14,10,06,02
15,11,07,03
16,12,08,04

步驟二:先以外四角對換,一換十六,四換十三。后以內四角對換,六換十一,七換十。

04,09,05,16
14,07,11,02
15,06,10,03
01,12,08,13

經檢驗,諸行諸列及對角線上四數和皆為三十四,縱橫圖成立。

行:04+09+05+16=34,14+07+11+02=34,15+06+10+03=34,01+12+08+13=34。
列:04+14+15+01=34,09+07+06+12=34,05+11+10+08=34,16+02+03+13=34。
斜:04+07+10+13=34,16+11+06+01=34。

04,09,05,16
14,○,○,02
15,○,○,03
01,12,08,13

正向取數

01→15→14→04→09→05→16→02→03→13→08→12,
04→09→05→16→02→03→13→08→12→01→15→14,
16→02→03→13→08→12→01→15→14→04→09→05,
13→08→12→01→15→14→04→09→05→16→02→03;

反向取數

01→12→08→13→03→02→16→05→09→04→14→15,
13→03→02→16→05→09→04→14→15→01→12→08,
16→05→09→04→14→15→01→12→08→13→03→02,
04→14→15→01→12→08→13→03→02→16→05→09。

數字等和

011514040905160203130812+040905160203130812011514+
160203130812011514040905+130812011514040905160203
=343 434 343 434 343 434 343 434
011208130302160509041415+130302160509041415011208+
160509041415011208130302+041415011208130302160509
=343 434 343 434 343 434 343 434

平方等和

011514040905160203130812^2+040905160203130812011514^2+
160203130812011514040905^2+130812011514040905160203^2
=44 582 630 747 529 542 458 528 985 720 399 555 500 760 571 774
011208130302160509041415^2+130302160509041415011208^2+
160509041415011208130302^2+041415011208130302160509^2
=44 582 630 747 529 542 458 528 985 720 399 555 500 760 571 774

立方等和

011514040905160203130812^3+040905160203130812011514^3+
160203130812011514040905^3+130812011514040905160203^3
=6 420 017 212 108 530 116 715 661 478 912 622 002 713 259 069 423 010 161 074 979 665 715 124
011208130302160509041415^3+130302160509041415011208^3+
160509041415011208130302^3+041415011208130302160509^3
=6 420 017 212 108 530 116 715 661 478 912 622 002 713 259 069 423 010 161 074 979 665 715 124

(四)全息構造,無窮奧妙

楊輝留下了一幅九九圖,自一開始,至八十一,正合九九歸真之數。後世研究者發現楊輝的這幅縱橫圖,是由洛書模式,採用全息構造的方式實現的。

31,76,13,36,81,18,29,74,11
22,40,58,27,45,63,20,38,56
67,04,49,72,09,54,65,02,47
30,75,12,32,77,14,34,79,16
21,39,57,23,41,59,25,43,61
66,03,48,68,05,50,70,07,52
35,80,17,28,73,10,33,78,15
26,44,62,19,37,55,24,42,60
71,08,53,64,01,46,69,06,51

四四,四九,四二,九四,九九,九二,二四,二九,二二
四三,四五,四七,九三,九五,九七,二三,二五,二七
四八,四一,四六,九八,九一,九六,二八,二一,二六
三四,三九,三二,五四,五九,五二,七四,七九,七二
三三,三五,三七,五三,五五,五七,七三,七五,七七
三八,三一,三六,五八,五一,五六,七八,七一,七六
八四,八九,八二,一四,一九,一二,六四,六九,六二
八三,八五,八七,一三,一五,一七,六三,六五,六七
八八,八一,八六,一八,一一,一六,六八,六一,六六

舉個例子,這裡“五八”轉換為5+8*9-9=68。一般來說,我們將“xy”轉換為數字x+9y-9;實際檢驗,可以看到這樣轉換的結果,正好得出楊輝的九九圖。也許有人會問,楊輝當年真的是這樣想的嗎?這個問題好比是,畫卦者真的是萊布尼茲說的那樣思維嗎?九數悟之,我們的所見只是自身的外化。

洛書中,可以看見.d字符。自然,由洛書採用全息構造得出的九九圖也存在這樣的結構。這裡,我們只計算其中最大的一個形如.d字符的螺旋結構。.d字符,讓人想起銀河星系,我們好比置身在數字構造的星辰世界里。

31,76,13,36,81,○,○,○,11
○,○,○,○,45,○,○,○,56
○,○,○,○,09,○,○,○,47
○,○,○,○,77,○,○,○,16
21,39,57,23,41,59,25,43,61
66,○,○,○,05,○,○,○,○
35,○,○,○,73,○,○,○,○
26,○,○,○,37,○,○,○,○
71,○,○,○,01,46,69,06,51

.d字符正向取數

41→77→09→45→81→36→13→76→31,
41→23→57→39→21→66→35→26→71,
41→05→73→37→01→46→69→06→51,
41→59→25→43→61→16→47→56→11;

31,○,○,○,81,18,29,74,11
22,○,○,○,45,○,○,○,○
67,○,○,○,09,○,○,○,○
30,○,○,○,77,○,○,○,○
21,39,57,23,41,59,25,43,61
○,○,○,○,05,○,○,○,52
○,○,○,○,73,○,○,○,15
○,○,○,○,37,○,○,○,60
71,08,53,64,01,○,○,○,51

.d字符正向取數

41→77→09→45→81→18→29→74→11,
41→59→25→43→61→52→15→60→51,
41→05→73→37→01→64→53→08→71,
41→23→57→39→21→30→67→22→31。

數字等和

417709458136137631+412357392166352671+
410573370146690651+415925436116475611
=1 656 565 656 565 656 564
417709458118297411+415925436152156051+
410573370164530871+412357392130672231
=1 656 565 656 565 656 564

平方等和

417709458136137631^2+412357392166352671^2+
410573370146690651^2+415925436116475611^2
=686 084 270 972 912 771 763 917 972 771 753 524
417709458118297411^2+415925436152156051^2+
410573370164530871^2+412357392130672231^2
=686 084 270 972 912 771 763 917 972 771 753 524

立方等和

417709458136137631^3+412357392166352671^3+
410573370146690651^3+415925436116475611^3
=284 162 272 243 997 699 865 883 936 491 374 203 728 741 670 052 506 884
417709458118297411^3+415925436152156051^3+
410573370164530871^3+412357392130672231^3
=284 162 272 243 997 699 865 883 936 491 374 203 728 741 670 052 506 884

(五)數字未來,無限生機

洛書九數,是方圖;河圖用十,是圓圖。當年,楊輝留下的縱橫圖,除了方圖之外,還有圓圖。其中有一幅圓圖,被楊輝稱作“聚八圖”。全圖用二十四個數,從一開始,布列在一個四圓環上,如楊輝所說“二十四子,作三十二子用”。

一個偶然的機會,這幅聚八圖引起了我的注意。這裡我們選取該圖的中心結構,只有八個數,聚八之名正是由此而得。這八個數排列在兩圓相交的位置上,為了書寫簡單將其排列如下。(完整的聚八圖,此處略。)
05,□,□,18
□,08,19,□
□,17,06,□
20,□,□,07

上:05+08+19+18=50;下:17+20+07+06=50;
左:05+20+17+08=50;右:19+06+07+18=50;
內:08+19+17+06=50;外:05+20+07+18=50。

這八個數的排列呈現非常簡明的加法等和現象。最特別的是,這幅“聚八圖”讓我想起了法輪大法。我們翻開大法書《轉法輪》,仔細看目錄,從第一講到第九講,記下每講中題目的個數。依次排列為:

目錄順序:一二三四五六七八九;
題目個數:七五十五八七五七六。

接着,將記錄的數據寫成:x1=7,x2=5,x3=10,x4=5,x5=8,x6=7,x7=5,x8=7,x9=6。然後,將x1到x8排列成如下形式。

x5,□,□,x8
□,x1,x4,□
□,x2,x3,□
x6,□,□,x7

上:x1+x4+x5+x8=7+5+8+7=27;
下:x2+x3+x6+x7=5+10+7+5=27;
左:x1+x2+x5+x6=7+5+8+7=27;
右:x3+x4+x7+x8=10+5+5+7=27;
內:x1+x2+x3+x4=7+5+10+5=27;
外:x5+x6+x7+x8=8+7+5+7=27。

明代有一本影響深廣的著作《算法統宗》,對推動珠算技術的傳播起了非常大的作用,作者是傑出的算學家程大位,這本書的開篇即是河圖洛書。明清之際,許多算學家在楊輝的基礎上發展,創造了更多新形式的成果,其中包括立體形式的嶄新構造。後來,楊輝的著作也流傳到了東邊的島國日本。日本算學家關孝和,對楊輝的著作認真研究,有了新的創見,也製作了不少縱橫圖。

楊輝的研究,也流傳了西方。再往後,全世界範圍內出現了更多的研究者,創造出了許多非常有趣的縱橫圖。到今日,縱橫圖已經成為全人類廣泛普及的一筆寶貴知識財富。我所選擇的這些內容,一直是順着洛書這條線索展開的。洛書涵蓋的領域,無限寬廣,人類目前認識到的現象還相當膚淺。

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